інформаційно-аналітичний портал Українського агентства фінансового розвитку
на головну
Дослідження кредитного ризику методом Монте-Карло

С. Івлієв
начальник відділу рішень для банків ЗАТ "Прогноз"

Кредитний ризик є одним із найбільш вивчених видів ризику, для оцінки характеристик якого розроблено багато методів. Поняття кредитного ризику в ідеології Value-at-Risk можна сформулювати як максимально можливі збитки за кредитним портфелем для заданої довірчої імовірності. Для одержання такої оцінки досить взяти квантиль теоретичної або емпіричної функції розподілу, але звідки взяти цю функцію? У статті пропонується метод одержання емпіричної функції розподілу на основі методу Монте-Карло.
Розглянемо простий кредит: на термін H днів під ставку R% річних контрагенту видається сума S тис. грн. Грошові потоки угоди представлені на рис.1.

Рис. 1 Грошові потоки угоди


Кредитний ризик за цією угодою характеризується імовірністю виникнення кризового стану контрагента (дефолта) протягом терміну дії зобов'язання, що призводить до неповернення боргу наприкінці терміну.
Як чисельно оцінити цю імовірність?
Як правило, спочатку оцінюється імовірність дефолту контрагента за рік. Розроблено кілька основних підходів: матриця міграції, різні варіанти моделі Мертона, моделювання на основі макроекономічних факторів.
Припустимо, що нам відома імовірність дефолту контрагента за рік, P. Як знайти імовірність дефолту за довільний горизонт часу?
Розглянемо пуасонівський потік подій, які пов’язані з появою кризових ситуацій, що приводять до банкрутства контрагента. Потік характеризуватиметься низькою інтенсивністю, оскільки дефолти відносно рідкі. Інтенсивність потоку визначається фундаментальними характеристиками бізнесу контрагента і змінюється в часі залежно від ринкової кон'юнктури, макроекономічної ситуації, прийнятих управлінських рішень тощо.
Для спрощення припустимо, що інтенсивність постійна в часі (принаймні, протягом періоду, порівняного з горизонтом аналізу). Тоді випадкова величина Т, що дорівнює інтервалу часу від поточної точки до моменту дефолта, розподілена експоненціально (ідеологія моделей скороченої форми):

FT(ф) = P{T<ф} = 1 – e-лф                (1)

де л – інтенсивність, ф – заданий інтервал часу.

На основі імовірності дефолту за рік, Р = FT (1) = 1 – e, знайдемо інтенсивність потоку:
л = -ln(1-P),                 (2)
що дозволяє визначити імовірність дефолту протягом довільного терміну h:

FT (h)= 1 – exp{-лh}= 1- exp{ln(1-P)h}                (3)

де h=H/365, H – термін (у днях).

Отже, на основі імовірності дефолту за рік ми оцінили імовірність дефолту протягом довільного терміну, p. Розглянемо випадкову величину L, що дорівнює збитку за кредитом (без урахування відсотків і можливого часткового відшкодування втрат). Очевидно, що L має дискретний розподіл Бернуллі (повернуть - не повернуть):
i 1 2
Li S 0
pi p 1-p

де і - номер стану (1 - дефолт, 2 - повернення позички); pi - імовірність стану; z - рівень втрат у випадку дефолту; r - відносна процентна ставка, r=R/100; p - імовірність дефолту за горизонт h=mіn(H,W)/365; W – горизонт аналізу.

Знайдемо числові характеристики випадкової величини L:

М [L]=pS – математичне очікування збитку,

D[L]=p(1-p)S2 – дисперсія збитку,

УL = S vp(1-p) – стандартне відхилення збитку              (4)

Рис. 2 Функція розподілу збитку за окремою позичкою матиме такий вигляд





Розглянемо тепер кредитний портфель, що складається з N кредитів: {Sj, Hj, Pj, rj}, де j - порядковий номер кредиту в портфелі, j=1..N; Sj - непогашена сума j-го кредиту; Hj - термін до погашення; Pj - імовірність неповернення за рік; rj - ставка.
Збиток Lp за портфелем дорівнює сумі збитків за окремими кредитами:

         (5)

Нас цікавить вид функції розподілу Lp. Ця випадкова величина являє собою суму дискретних випадкових величин і також є дискретною При цьому вона не належить до відомого класу розподілів. Знайдемо числові характеристики збитку Lp у припущенні про незалежність розподілу збитків за окремими кредитами:



математичне очікування збитку портфеля,



дисперсія збитку портфеля ,




стандартне відхилення збитку портфеля                     (6)

де pj– імовірність дефолту за горизонт аналізу.

Багато методик обмежуються розглядом числових характеристик M[Lp], yLp. Величина M[Lp] визначає очікуваний рівень втрат, а, відповідно, необхідний обсяг резервів для їхнього покриття, yLp використовується як характеристика кредитного ризику. Для одержання кількісної оцінки кредитного ризику необхідно побудувати емпіричну функцію розподілу випадкової величини Lp, наприклад, на основі методу Монте-Карло.
Пропонується наступний алгоритм моделювання:
1. Для кожного кредиту j генеруються рівномірно розподілені від 0 до 1 випадкові величини: Dkj˜R[0,1]..N, де N - кількість кредитів у портфелі.
2. Розраховується рівень збитків за кожним кредитом на основі зворотної функції розподілу:
3. Розраховується сума збитків:


4. Процедура (п.1-3) повторюється велика кількість разів, K. За вибіркою Lkp будується емпірична функція розподілу.
Необхідно забезпечити достатню збіжність функції емпіричної функції до теоретичного, наприклад, на основі критерію Колмогорова-Смирнова. Але оскільки теоретична функція нам невідома, можна відслідковувати збіжність ряду:


де нi,з - емпірична функція розподілу, побудована по k-й вибірці; з - номер інтервалу розбивки емпіричної функції розподілу.
Це питання вимагає додаткового дослідження. У серйозних пакетах ризик-менеджменту (наприклад, NumTech1) моделюється, як правило, не більше 104 сценаріїв.
Емпірична функція розподілу дозволяє кількісно оцінити кредитний ризик у загальноприйнятій ідеології Value-at-Rіsk, як максимально можливі збитки з заданою довірчою імовірністю. Для цього досить узяти квантиль відповідного порядку.
Розглянемо застосування підходу на прикладі портфеля, що складається з кредитів на загальну суму S=3990 тис.грн. (див. табл. 1)
Необхідно побудувати емпіричну функцію розподілу, очікуваний прибуток і кредитний ризик (максимально можливі збитки з 95% довірчою імовірністю) за горизонт, що дорівнює 1 року.
Розрахуємо імовірність дефолту за горизонт з урахуванням терміну погашення на основі співвідношення (3) (див. табл.2)

Табл.1
Кредит j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Сума, тис.грн. Sj 100 500 60 900 200 550 420 180 720 360
Ставка, % річних Rj 15% 11% 16% 12% 14% 9% 12% 19% 12% 11%
Срок до погашення, днів Hj 320 452 113 212 118 590 41 692 357 412
Імовірність дефолту за рік Pj 2.0% 1.0% 5.0% 1.0% 3.0% 3.0% 5.0% 10.0% 3.0% 4.0%


Табл.2
Кредит j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Імовірність дефолту за горизонт (H=365) з урахуванням терміну погашення pj 1.8% 1.0% 1.6% 0.6% 1.0% 3.0% 0.6% 10.0% 2.9% 4.0%

Математичне очікування і стандартне відхилення збитків портфеля за горизонт, розраховані на основі співвідношення, дорівнюють:
M[Lp] = 87.3 тис.грн;
yLp= 200.6 тис.грн.
Результати 1000 експериментів Монте-Карло дозволили побудувати емпіричну функцію розподілу збитку (рис.3) і знайти очікувані втрати: ELP = 86.2 тис.грн і кредитний ризик: QLP95% = 550 тис.грн (13.7% від обсягу портфеля).
Рис.3.


Величина необхідного економічного капіталу розраховується як різниця між максимально можливими збитками і сформованими резервами і складає 463 тис.грн (11.6% від обсягу портфеля).
Розглянемо складнішу модель: з урахуванням процентних доходів, рівня можливих втрат у випадку дефолта, зміни курсу валюти.
Розподіл випадкової величини L у цьому випадку задається:


де i – номер стану (1 - дефолт, 2 - повернення позички); pi - імовірність стану; z - рівень втрат у випадку дефолту; r - відносна процентна ставка, r=R/100; p - імовірність дефолту за горизонт h=mіn(H,W)/365; W - горизонт аналізу; c - співвідношення курсів валют на початку і вкінці горизонту. Змінні c,z є випадковими величинами, значення яких також необхідно імітувати.

Рис. 4 Приклад емпіричної функції розподілу збитку


Приріст курсу долара згенерований на основі нормального закону c˜N(1;0.1).
Середні збитки (прибуток) за вибіркою: ELP= -259 тис.грн.
Сукупний ризик (з 95% рівнем довіри): QLP95%= 257 тис.грн.
Підхід використовується в автоматизованій системі ризик-менеджменту "Прогноз.Ризик" для оцінки сукупного ризику кредитного і ринкового портфелів банку. Система "Прогноз.Ризик" являє собою конструктор, що дозволяє ризик-менеджеру реалізовувати різні методики аналізу і моделювання ризиків, що виникають у зв'язку з інвестиційною і комерційною діяльністю банку, фахівцю ІT-підрозділу завантажувати і консолідувати дані у вбудованому інформаційному сховищі, трейдеру здійснювати ведення позицій і моніторинг свого портфеля.
Подальший розвиток методу містить у собі розв’язання таких проблем:
1. При генерації випадкових величин D необхідно враховувати взаємні кореляції дефолтів у випадку виникнення системної кризи економіки.
2. При генерації безупинних випадкових величин (курсів валют, котирувань акцій) необхідно враховувати "важкі хвости", наприклад, на основі сімейства строгостійких розподілів.
3. Необхідно одержувати точну оцінку імовірності дефолту на основі фундаментального аналізу показників бізнесу підприємства з урахуванням галузевої і макроекономічної кон'юнктури. Від точності цієї оцінки залежить точність усього методу.
Для кількісної оцінки імовірності дефолту розроблено кілька основних підходів:
1. Перший клас підходів заснований на аналізі частот дефолтів схожих компаній. Подібність компанії може визначатися рейтингом відомого агентства чи галузевою приналежністю. Так агентство Standard&Poor's щорічно публікує так звану матрицю міграцій рейтингів компаній, з якої можна взяти імовірність дефолта за рік, якщо контрагенту присвоєно рейтинг. Крім того, 70% вітчизняних компаній рейтинг не присвоєно, але може бути здійснено так званий "маппінг" компанії до однієї з категорій (А,B,BB,CCC). Точність підходу обмежена точністю методики, що використовується для присвоєння рейтингу. Погрішність використання імовірностей дефолтів з матриці міграцій визначається двома припущеннями: 1) компанії, що мають один рейтинг, мають однакову імовірність дефолту; 2) завтра буде так як і вчора. Якщо врахувати, що власна історія дефолтів у країні мала, а метод маппінгу, що використовується рейтинговим агентством, являє собою чорний ящик, то можна зробити висновок, що використання цього підходу може спричинити некоректні результати.
2. Другий клас підходів заснований на моделях діяльності фірми. Найчастіше це різні різновиди моделі Мертона. Модель заснована на аналізі ринкової вартості активів, що розраховується на основі ціни акцій контрагента на ринку. Моделюється процес випадкової вартості активів і розраховується імовірність того, що вартість активів знизиться до точки дефолту. Фундаментальне припущення моделі: вартість активів визначається ринком. На вітчизняному фондовому ринку, де знаходяться в обігу в основному міноритарні пакети акцій і ціни визначаються переважно спекулятивною кон'юнктурою, ніж фундаментальними факторами, застосовність цього методу також викликає питання.
3. У банках найчастіше використовують власні змістовні методики оцінки кредитоспроможності позичальника, що засновані на скорингу контрагентів. Результатом застосування таких методик є віднесення контрагента до однієї з внутрішніх категорій ризику. В ідеальному випадку цій групі можна зіставити імовірність дефолта, отриману на основі частот виникнення прострочення.
4. В якості альтернативи можливе застосування нечіткої логіки. У системі "Прогноз.Ризик" застосовується підхід, заснований на нечітких експертних оцінках. Усі контрагенти відносяться до однієї з категорій ризику, для яких экспертно задається імовірність дефолта на основі трикутного нечіткого числа {a1,a2,a3}. В якості крапкової оцінки імовірності дефолта береться центр ваги цього числа: 0.25(a1+2a2+a3). Варто визнати, що погрішність оцінок, які одержуються у цьому блоці, є основним джерелом погрішності методу в цілому. У зв'язку з цим, проводяться дослідження в напрямку змістовного моделювання імовірності дефолта контрагентів з урахуванням економічних факторів ризику.
© 2003-2009  Українське агентство фінансового розвитку Дизайн та розробка порталу
студія web-дизайну "Золота рибка"