інформаційно-аналітичний портал Українського агентства фінансового розвитку
на головну
Фінансова математика для інвестора
Визначення теперішньої вартості грошей і нарощеної суми вкладень

Л. Гіляровська
д.е.н., проф.

Інвестиційна діяльність завжди пов'язана з прийняттям фінансових рішень, наприклад: при розрахунках прибутковості на ринку цінних паперів; оцінці прибутковості капіталовкладень у реальне виробництво; у зв'язку з необхідністю врахувати економічну нееквівалентність однакових сум грошей у різні календарні терміни, тобто тимчасову вартість грошей; при виявленні впливу інфляції на перераховані вище процеси.
Інвестор повинен володіти як теорією, так і технікою прийняття фінансових рішень, використовуючи кількісні методи для одержання висновків про доцільність зробленого вибору вкладення капіталу. Фінансова математика відіграє все більшу роль в економічному аналізі при здійсненні інвестиційної діяльності.
У даній публікації не розглядається складний математичний апарат обліку факторів невизначеності і ризику, що містить різні розділи теорії ймовірності та нові моделі математичних теорій. Увагу буде приділено простим способам визначення теперішньої вартості грошей — дисконтуванню майбутніх сум на сьогодні, визначенню нарощеної суми вкладень, у тому числі в умовах інфляції, ерозії капіталу.
Розглянемо основну формулу нарощення простих відсотків, коли нарощена сума (I) розраховується з урахуванням того, що відсотки на відсотки не нараховуються, а нараховуються вони на ту саму вихідну суму (S0). У цьому випадку алгоритм розрахунку нарощеної суми буде таким: I = S0 х (1 + it), де i — річна процентна ставка; t — число періодів нарахування відсотків.
Вихідна сума може бути розрахована як S0= I / (1 + it).
При розрахунку числа простих відсотків, що виплачуються банком, використовується алгоритм i = (I / S0 - 1) х (1/ t).
Розглянемо застосування цих алгоритмів на умовному числовому прикладі.
У банк покладено 3000 грн. на термін один рік шість місяців. Ставка простих відсотків дорівнює 20% на рік. Визначимо нарощену суму через півтора роки.
I=3000грн.х(1+0,2х1,5)=3900грн.
На основі цих даних розрахуємо вихідну суму, коли відома сума нарощення і річна ставка простих відсотків і коли вони невідомі:
S0=3900грн./(1+0,2х1,5)=3000грн.
і=(3900/3000-1)х(1/1,5)=0,2(20%)
Треба звернути увагу на те, що кредитору вигідніше видавати позику під простий дисконт, а не під простий відсоток. Простий дисконт (d) являє собою процентний дохід, що віднімається з позики в момент її надання. Порівняємо нарощену суму, яку треба повернути кредитору за умови видачі кредиту в однаковій сумі, але під простий відсоток — в одному випадку і під простий дисконт — в іншому.
Припустимо, що позика, рівна 10 000 грн., видана терміном на півроку під 20% простих річних. Простий дисконт також 20%. Тоді нарощена сума до повернення під простий відсоток складе
I=S0 (1+it)=1000грн х (1+0,2х 0,5)= 11000 грн.
Якщо позичка отримана під простий дисконт за інших рівних умов, то повернути треба буде більшу, ніж у першому випадку, суму:
I = S0 / (1 - it) = 10000 / (1 – 0,2 х 0,5) = 11111 грн.
Щоб одержати на руки кредит у сумі 10000 грн. під простий дисконт, треба заборгувати кредитору велику суму, тому що при видачі позики дисконт віднімається.
Оскільки простий відсоток являє собою відношення суми збільшення за якийсь термін до початкової суми, то це ставка відсотка, ефективність вкладень, чи інтерес кредитора (по закордонній термінології). Дисконт, чи відносна знижка, — це відношення суми збільшення за визначений термін до нарощеної суми. У практичних фінансових розрахунках з використанням дисконту зручно застосовувати дисконт-фактор (V) — відношення початкової суми вкладень до нарощеного чи різниця між одиницею і дисконтом за визначений термін:
V = 1 – d(it) = S0 / I
Для розрахунку суми, яку клієнт одержить на руки, якщо за умовами кредитного договору позичка видається під простий дисконт, треба передбачувану до повернення суму помножити на величину дисконт-фактора.
І в теорії, і на практиці постійно доводиться вирішувати питання про те, у якому співвідношенні знаходяться суми грошей, отримані в різні моменти часу. Розрахувати сучасну цінність суми грошей можна шляхом її дисконтування. Для визначення сучасної, чи приведеної, цінності грошей можна скористатися алгоритмом:
S0 = I / (1 + i х t)
Розрахунок базується на алгоритмі обчислення суми нарощення, наведеному вище. При цьому до уваги береться можливість використання грошей шляхом інвестування в банк під простий річний відсоток. Річна ставка називається номінальною.
Дві чи декілька приведених сум грошей вважаються еквівалентними, якщо їхні сучасні цінності однакові. Еквівалентність приведених сум використовується для порівняння контрактів на одержання позики, а також при вирішенні питання про зміну умов такої угоди.
Приклад. У першому контракті сума зобов'язання складає 20000 грн. виходячи з простих 30% у рік з виплатою 12000 грн. через два роки, залишкових 8000 грн. — через п'ять років, тобто по закінченні контракту.
У другому контракті терміном на чотири роки під той же простий відсоток повернення першої частини зобов'язання в сумі 7000 грн. передбачений через рік, а іншої суми — через три роки від даного моменту.
Треба розрахувати суму боргу в другому контракті, яка буде повернута через три роки, за умови, що сучасні цінності потоків платежів в обох контрактах будуть однаковими, тобто еквівалентними:
S(1) 1 + S(1) 2 = S(2) 1 + S(2) 2
де S(1) 1 і S(1) 2 — дисконтовані (приведені) суми в першому контракті;
S(2) 1 + S(2) 2 — дисконтовані (приведені) суми платежів у другому контракті.
Як нарощена сума (I) приймається сума зобов'язання повернути борг, включаючи відсотки. Тоді приведена до даного часу сума обов'язкового платежу складе:
S(1) 1 = 12000 грн. / (1 + 0,3 х 2) = 7500 грн.;
S(1) 2 = 8000 грн. / (1 + 0,3 х 5) = 3200 грн.;
S(2) 1 = 7000 грн. / (1 + 0,3 х 1) = 5384,6 грн.;
S(2) 2 = X грн. / (1 + 0,3 х 3) = X грн. / 1,9.
Контракти будуть еквівалентні, якщо буде виконана рівність:
7500 грн. + 3200 грн. = 5384,6 грн.+ + X грн. / 1,9.
Звідси X грн. = (7500 + 3200 - - 5384,6) х 1,9 = 10099,3 грн.
З прикладу видно, що скорочення терміну платежу в другому контракті дозволяє зменшити сумарні виплати. По першому контракту вони складуть 20000 грн. (12000 + 8000), а по другому — 17099,3 грн. (7000 + 10099,3).
На практиці фінансові операції звичайно відбуваються з використанням складних відсотків. Кредитні відносини, здійснення довгострокових фінансово-кредитних операцій, оцінка інвестиційних проектів нерідко вимагають застосування математичних моделей безупинного нарахування відсотків, їхнього реінвестування, використання складних відсотків. Особливість процесу полягає в тому, що вихідна базова сума збільшується з кожним періодом нарахування, у той час як при використанні простих відсотків вона залишається незмінною. Нарощення по складних відсотках здійснюється з прискоренням. Процес приєднання нарахованих відсотків до базової суми називається капіталізацією відсотків.
Нарощення по складних відсотках описується геометричною прогресією. Множник нарощення буде виглядати як (1 + i)t. Нарощена сума обчислюється за алгоритмом: St = S0 х (1 + i) t, де S0 — базова сума (сучасна вартість суми грошей); St — майбутнє значення суми грошей; i — річна процентна ставка; t — термін, після закінчення якого сучасне значення грошей зміниться.
Припустимо, що банк щорічно нараховує складні відсотки (30%) на вклад у сумі 100000 грн. Тоді нарощена сума через два роки складе
St = 100000 грн. х (1 + 0,3) 2 ==169000 грн.
Через чотири роки вона дорівнюватиме St = 100000 грн. х х (1 + 0,3) 4 = 285610 грн.
Ставка складних відсотків звичайно вказується на рік (номінальна), хоча нараховуватися вони можуть частіше — кожне півріччя, квартал, місяць, навіть день. Тоді за кожен період року ставка складних відсотків буде дорівнювати i/m де т — число нарахування відсотків за рік.
У цьому випадку алгоритми розрахунку нарощеної суми мають такий вигляд:
St = S0 / (1 + i/m) tm
Доповнимо умови попереднього прикладу тим, що та ж річна ставка складних відсотків (30%) застосовується чотири рази на рік, тобто число нарахувань зростає. Тоді нарощена сума, наприклад, за два роки складе
St= 100000 грн. х (1 + 0,3/4) 2*4 = 100000 грн. х (1 + 0,075) 8 = 100000 грн. х 1,78348 = 178,348 тис.грн.
При нарахуванні один раз на рік нарощена сума за два роки, як ми бачили, склала лише 169000 грн.
При збільшенні числа періодів нарахування складних відсотків при одній і тій же річній ставці за той самий час нарощена сума зростатиме.
У фінансових розрахунках з використанням складних відсотків прийнято визначати ефективну ставку, тобто таку річну номінальну ставку складних відсотків, яка дає можливість одержати той же результат, як і при нарахуванні відсотків кілька разів на рік. Рівність нарощених сум тут забезпечується рівністю первинних сум, періодів і множників нарощення.
Ефективна процентна ставка буде більш номінальною. Це видно з відповідних алгоритмів, де i еф — ефективна ставка. Множники нарощення повинні бути рівні (1 + i еф)t = (1+im/m) mt
Звідси ефективна ставка складе I еф = (1+ im/m) mt - 1
Використовуючи наведений алгоритм, розрахуємо ефективну ставку складних відсотків при щоквартальному нарахуванні, якщо номінальна ставка — 20%, а період дорівнює року. Первинна сума — 300 тис. грн.
I еф =(1+0,2/4) 4–1=0,2155=21,55%
Нарощена сума при цьому складе
St = S0 * (1 + i еф)t = 300 тис. грн. х (1 + 0,2155) = 364,65 тис. грн.
При нарахуванні складних відсотків чотири рази на рік одержимо ту ж нарощену суму:
St = S0 / (1+ im/m) mt = 300 тис.грн. / (1 + 0,2/4) 4 = 300 х (1,5) 4 = 364,65 тис.грн.
У фінансових розрахунках повинна враховуватися інфляція. З одного боку, сума, покладена, наприклад, на депозит збільшиться, а з іншого боку - втратить свою реальну вартість у результаті інфляції. Для визначення нарощеної суми з урахуванням інфляції використовують алгоритм
S інф = S0 * (1 + im/m) t / (1 + h) t
де S інф — нарощена сума з урахуванням інфляції; S0 — базова сума; im — річна номінальна банківська ставка, що застосовується m разів на рік; h — очікуваний місячний темп інфляції; t — число місяців.
Приклад. Припустимо, що на депозит покладена сума 800 тис. грн. (S0). Номінальна річна банківська ставка (im) дорівнює 48%. Складні відсотки нараховуються кожен місяць, тобто річна номінальна ставка застосовується 12 разів на рік (m). Очікуваний місячний темп інфляції (h) дорівнює 10%. Визначимо нарощену суму (з урахуванням інфляції) через чотири місяці, а також ерозію капіталу (ЕК), чи зменшення реальної вартості суми, покладеної на депозит (S інф - S0):
S інф = 800 тис.грн. х (1 + 0,48/12) 4 / (1+0,1) 4 = 639,2 тис.грн.
Ерозія капіталу складе: 639,2 тис. грн. – 800 тис. грн. = –160,8 тис. грн.
Найчастіше фінансові операції мають тривалий характер, складаються не з одного разового платежу, а з потоків платежів і нерідко з різними знаками. Як приклад можна привести: щорічні виплати відсотків по облігаціях, щомісячні внески на погашення споживчого кредиту, одержання щомісячних стипендій від благодійного фонду; орендні платежі; періодичні внески в банк для утворення страхового фонду та ін.
У таких фінансових операціях виникає необхідність знайти нарощену суму потоку платежів чи, навпаки, по нарощеній сумі визначити величину окремого платежу. Для цілого ряду фінансових розрахунків розроблені математичні моделі.
© 2003-2009  Українське агентство фінансового розвитку Дизайн та розробка порталу
студія web-дизайну "Золота рибка"