інформаційно-аналітичний портал Українського агентства фінансового розвитку
на головну
Модель ціноутворення опціонів Блека-Скоулза

Модель ціноутворення опціонів Блека­Скоулза представляє собою метод визначення ціни опціонного контракту, що не потребує використання конкретної величини премії за ризик. За створення цієї моделі Майрон Скоулз та Роберт Мертон, який брав участь у її розробці, отримали у 1997 році Нобелівську премію з економіки. Фішер Блек не був нагороджений Нобелівською премією, оскільки вона не присуджується особам, які вже пішли з життя.

Згідно із цією моделлю, ціна опціону знаходиться у прямій залежності від поточного ринкового курсу фінансового інструменту, що лежить в основі опціону, дати настання строку зобов’язання за опціоном, рівня процентної ставки, мінливості цін та у зворотній залежності від ціни виконання опціону (страйку). Крім того, приймається до уваги виплата дивідендів протягом строку дії опціонного контракту (якщо у якості базового фінансового інструменту виступають акції).
У моделі Блека­Скоулза опціон розглядається в якості функції, що складається з низки елементів. Найважливішим елементом являється поточна вартість базового активу та ціна виконання контракту (страйк). А отже, різниця між цими двома характеристиками найбільше впливає на ціну опціону. Саме ця різниця і визначає стан опціону «навколо грошей», «поза грошима» або «у грошах».
Волатильність (ступінь коливань) – елемент, що відображає наскільки базовий актив схильний до цінових коливань. Розмір премії опціонів «у грошах» безпосередньо залежить від очікувань волатильності базового активу. Зі зростанням процентних ставок зростає і ціна базових активів до дати експірації. Вона розраховується як ціна активу плюс ставка по безризикових активах на період дії опціону.
Дивіденди також виявляють свій вплив (для таких базових активів як акції). Суть полягає в тому, що дивіденди підвищують привабливість покупки певних акцій, порівняно з придбанням опціонів «колл» і зберіганням резервів готівки для покупки акцій лише на дату експірації. А для опціонів «пут» навпаки, дивіденди підвищують привабливість опціону перед продажем акцій на спотовому ринку, адже акцій перебувають у власності до дати экспірації, а, отже, зберігаються і дивіденди на даний період.
Ну і нарешті – час, що залишився до закінчення терміну опціонного контракту. Він впливає на тимчасову вартість опціону, яка зменшується з наближенням терміну експірації. Як було сказано вище – чим більше часу до закінчення контракту, тим вищою є невизначеність і надія на отримання більшого прибутку при експірації. Для покупців опціонів «поза грошима» час працює проти них, адже ціна таких опціонів знижується стрімкими темпами.
У моделі Блека­Скоулза опціон має «внутрішню» та «поточну» вартість. «Внутрішньою» вартістю опціону є вартість, яку опціон має на дату настання строку зобов’язання за ним, оскільки «поточна» премія до дати настання строку зобов’язання за опціоном наближається до нуля. Протягом строку своєї дії опціон «колл» має тільки тоді «внутрішню» вартість, коли ринковий курс фінансового інструменту є вищим за базисну ціну (ціну виконання опціону). Таким чином, опціон має ціну виконання більш вигідну для покупця, ніж поточна ціна фінансового інструмента, що лежить у його основі. «Внутрішня» вартість у такому випадку є позитивною різницею ринкового курсу фінансового інструмента та його базисної ціни.
Опціон «пут» має «внутрішню» вартість тільки тоді, коли курс фінансового інструмента є нижчим за базисну ціну. Тут також опціон має ціну виконання більш вигідну для покупця, ніж поточна ціна фінансового інструмента, що лежить у його основі. «Внутрішня» вартість розраховується як додатна різниця базисної ціни і ринкового курсу фінансового інструменту.
Опціони, у яких поточна ціна фінансових інструментів, що лежать у їхній основі, приблизно дорівнює ціні виконання (курс дорівнює базисній ціні), та опціони, ціна виконання яких є нижчою («пут») або вищою («колл») за поточну ринкову ціну фінансового інструмента, що лежить у їхній основі (опціон «колл» – курс є нижчим за базисну ціну, опціон «пут» – курс є вищим за базисну ціну), не мають «внутрішньої» вартості, а мають тільки «поточну» вартість.
«Поточна» вартість є ціною опціону за мінусом «внутрішньої» вартості. Покупець опціону готовий сплатити «поточну» вартість, оскільки він може розраховувати на те, що ринковий курс фінансового інструмента на період дії опціону (до дати настання зобов’язання), може показати позитивну динаміку. Розмір «поточної» вартості залежить від різних факторів, згаданих вище.
Відомо, що будь-яке вкладення в опціон є більш ризикованим, ніж інвестування безпосередньо у фінансовий інструмент, пов’язаний із цим вкладенням. Його вартість змінюється кожного разу, коли змінюється ціна фінансового інструменту, що лежить у його основі. Відповідно, очікувана норма доходу на опціон, на яку розраховують інвестори, кожну годину змінюється залежно від зміни ринкової ціни фінансового інструмента. Саме тому визначення вартості опціонів за допомогою стандартних формул вважалося практично неможливим, а розробка техніки точної оцінки цієї вартості протягом багатьох років була економістам не під силу. Всі попередні (починаючи з 1900 року) спроби визначити вартість похідних цінних паперів були невдалими внаслідок величезної проблеми – неможливості правильно вирахувати премію за ризик (дохід на ризикові вкладення).
М.Скоулз та Ф.Блек здійснили прорив у цій сфері, розробивши метод визначення ціни опціону, що не потребує використання конкретної величини премії за ризик. Проте, це не означає, що премії за ризик немає: просто вона включена до базисної ціни фінансового інструмента. Саме цю ідею обидва вчених вперше обґрунтували у праці «Ціноутворення на опціони та пасиви корпорацій» (1973).
Щоб вивести свою модель ціноутворення опціонів, Ф.Блек та М.Скоулз зробили наступні припущення:
1. Немає транзакційних витрат, пов’язаних з купівлею або продажем фінансового інструмента або опціону.
2. Короткочасна безризикова процентна ставка відома і є постійною протягом усього терміну дії опціону.
3. Будь­який покупець фінансового інструмента може отримувати позики за короткостроковою безризиковою ставкою для оплати цього фінансового інструмента.
4. Короткий продаж дозволяється без обмежень, і при цьому продавець отримає негайно всю наявну суму за продану без покриття фінансового інструмента за сьогоднішньою ціною.
5. По базовому активу (у випадку з акціями) опціону «колл» дивіденди не виплачуються протягом усього терміну дії опціону.
6. Торгівля цінними паперами (базовим активом) ведеться безперервно і поведінка ціни підпорядковується моделі геометричного броунівського руху з відомими параметрами.
Висновок моделі ґрунтується на концепції безризикового хеджування. Купуючи фінансові інструменти та одночасно продаючи опціони «колл» на ці активи, інвестор може конструювати безризикову позицію, де прибутки за фінансовими інструментами будуть точно компенсувати збитки за опціонами, і навпаки.
Безризикова хеджувальна позиція повинна приносити прибуток за ставкою, що дорівнює безризиковій процентній ставці, в іншому випадку існувала б можливість вилучення арбітражного прибутку і інвестори, намагаючись отримати переваги від цієї можливості, приводили б ціну опціону до рівноважного рівня, який визначається моделлю.
Обчислити та спрогнозувати ціну опціонів можна за наступними формулами:
Ціна (європейського) опціону колл:

де

Ціна (європейського) опціону пут:

де C(S,t) – поточна вартість опціону «колл» в момент t до закінчення терміну опціону; S – поточна ціна базового активу; N – ймовірність того, що відхилення буде меншим в умовах стандартного нормального розподілу (таким чином обмежують область значень для функції стандартного нормального розподілу); Ke – ціна виконання опціону; r – безризикова процентна ставка; T­t – час до закінчення терміну опціону (період опціону); σ– волатильність (квадратний корінь з дисперсії) базисного активу.
Таким чином, формула оцінює «справедливу вартість» опціону. Вона є корисною при прийнятті інвестиційних рішень, але не гарантує прибутку на опціонній торгівлі.
Ця формула ґрунтується на можливості здійснення безризикової угоди з одночасним використанням певного фінансового інструмента та виписаним на нього опціоном. Вартість (ціна) такої угоди має співпадати з вартістю безризикових активів на ринку, а оскільки ціна фінансового інструмента з часом змінюється, то й вартість виписаного опціону, який забезпечує безризикову угоду, також повинна відповідно змінюватися. Із цих передумов можна отримати імовірнісну оцінку вартості опціону.
Формула Блека­Скоулза дозволяє завчасно правильно оцінити очікуваний від опціону контракт на купівлю/продаж на певний строк будь-яких фінансових активів в обмін на сплату премії – прибуток та його залежність від усіх параметрів угоди. Економічний зміст даної формули полягає у визначенні ціни опціону на купівлю як різниці між розміром очікуваної ціни активу та розміром очікуваних витрат, за умови, що право опціону використане в строк. Формула Блека­Скоулза показує, що ціна опціону є тим вищою, чим вищою є ціна базового активу фінансового інструмента в цей момент; чим вищим є ступінь мінливості ціни активу, вимірюваний його стандартною похідною; чим вищою є ставка відсотка; чим тривалішим є час до визначеного строку; чим нижчою є ціна використання опціону й, нарешті, чим вищою є ймовірність того, що даний опціон буде використано.
Недоліком моделі Блека-Скоулза є те, що отримана за її допомогою ціна опціона вірна лише для дуже короткого проміжку часу. Більше того, не всі перераховані вище припущення виконуються, що неминуче призводить до внесення в модель виправлень і доповнень для урахування таких відхилень. З цією метою використовують біноміальну апроксимацію Кокса­Росса­Рубінштейна, що дозволяє збільшити точність розрахунків у результаті усунення систематичних помилок.
На практиці звісно не потрібно самостійно використовувати ці формули, розраховуючи теоретичні ціни опціонів. Всі торгові термінали показують вже визначені ціни, які засновані на реальних даних. Ціни розраховуються динамічно, одночасно зі змінами ринку. Крім того, низка додатків дозволяє вручну розрахувати теоретичну ціну опціона шляхом підстановки відповідних значень в програму. А тому, зовсім не обов’язково володіти особливими математичними здібностями або набувати їх.
Модель Блека­Скоулза для оцінки вартості опціонів є одним з найбільш відомих та широко застосовуваних досягнень фінансової теорії. Її популярності сприяла, по-перше, простота практичного використання, а, по-друге, те, що вихід у 1973 році статті, у котрій вона була опублікована, практично співпав у часі із початком організованої торгівлі опціонами на Чиказькій біржі опціонів.
За своїм значенням модель Блека­Скоулза вважається одним з найбільш видатних внесків в економічну теорію та фінансову практику останніх 30 років, перш за все тому, що вона створює передумови для ефективного управління ризиком і тим самим сприяє здійсненню найважливішої функції фінансового ринку – перерозподіляти ризики на користь тих його учасників, які готові та здатні з ними упоратись.
Але сфера застосування цієї моделі є набагато ширшою: на її основі з’явилися нові галузі досліджень – як у рамках економіки фінансів, так і поза нею.
Аналогічний цій моделі підхід використано, наприклад, для оцінки страхових контрактів та гарантій. Так, надаючи власникам право на використання гарантій, але не зобов’язуючи його до цього, вони виступають своєрідними опціонами.
Ще однією сферою застосування моделі Блека­Скоулза є прийняття рішень щодо капітальних інвестицій. Тут у якості опціону можна розглядати більшу чи меншу гнучкість використання обладнання, у яке вкладаються інвестиції. Оцінити потрібно саме цю гнучкість. Мова може йти, наприклад, про закриття та повторне відкриття виробництва (шахти за падіння ціни на вугілля) або про легкість його переключення з одного джерела енергії на інший (у випадку зміни відносної ціни на нафту та електроенергію).
Банки також використовують модель Блека­Скоулза для визначення вартості нових фінансових інструментів та створення таких інструментів на замовлення клієнтів з урахуванням можливих конкретних ризиків.
На думку спеціалістів, ця модель може використовуватися для оцінки будь-якого фінансового інструмента, вартість якого залежить від невизначеної майбутньої вартості активів всіх видів.

* За матеріалами Українського агентства фінансового розвитку

© 2003-2012  Українське агентство фінансового розвитку Дизайн та розробка порталу
студія web-дизайну "Золота рибка"