інформаційно-аналітичний портал Українського агентства фінансового розвитку
на головну
Врахування фактора часу в фінансових розрахунках

О. Моісєєва

Більшість господарських операцій (придбання основних засобів, купівля/продаж цінних паперів, лізинг, одержання/погашення банківських кредитів, аналіз інвестиційних проектів тощо) породжують грошові потоки. Здійснення цих операцій супроводжується безліччю виплат і надходжень коштів, утворюючи грошовий потік, розподілений у часі. У зв’язку з цим у процесі управління фінансами підприємства виникає необхідність у проведенні спеціальних розрахунків, пов’язаних з рухом грошових потоків у різні періоди його діяльності. Ключову роль у цих розрахунках відіграє оцінка вартості грошей у часі.

Концепція такої оцінки базується на тому, що вартість грошей з часом змінюється з урахуванням норми прибутку, що склалася на фінансовому ринку, в якості якого виступає ставка позичкового процента або норма прибутковості за державними цінними паперами.
З концепції зміни вартості грошей в часі (Time Value of Money, TVM) випливають два важливих наслідки:
- необхідність врахування фактора часу, особливо при проведенні довгострокових фінансових операцій;
- некоректність підсумовування грошових величин, що відносяться до різних періодів часу.
Окремими елементами методичного інструментарію оцінки вартості грошей у часі виступають:
Процент – сума доходу від надання капіталу в борг або плата за користування позиковим капіталом у всіх його формах (депозитний і кредитний процент, за облігаціями та векселями).
Простий процент – сума доходу, що нараховується до основної суми капіталу в кожному інтервалі, за якою подальші розрахунки не здійснюють.
Складний процент – сума доходу, що нараховується у кожному інтервалі, яку не виплачують, а приєднують до основної суми капіталу (вкладу) в подальшому платіжному періоді.
Процентна ставка – показник, згідно з яким у встановлені терміни виплачують суму процентів у розрахунку на одиницю капіталу (вкладу). На практиці процентна ставка відображає співвідношення річної суми процентного доходу до обсягу основного боргу.
Майбутня вартість грошей (Future Value, FV) – сума вкладених у теперішній час грошових коштів, на яку вони перетворяться через певний період часу з врахуванням обраної процентної ставки.
Теперішня вартість грошей (Present Value, PV) – сума майбутніх грошових коштів (вкладу), приведених з урахуванням конкретної процентної ставки до поточного моменту часу.
Нарощення вартості (compounding) – процес перерахунку теперішньої вартості грошових коштів (вкладу) в їх майбутню вартість в конкретний період часу шляхом додавання до первісної суми нарахованої величини процента.
Дисконтування вартості (discounting) – процес приведення майбутньої вартості грошових коштів (вкладу) до їх теперішньої вартості шляхом виключення з майбутньої суми відповідної величини процента (дисконту). За допомогою такої фінансової операції досягають порівнянності теперішньої вартості майбутніх грошових потоків.
Період нарахування – загальний період часу, протягом якого здійснюють процес нарощення або дисконтування грошової суми (вкладу).
Інтервал нарахування – це мінімальний період, після якого відбувається нарахування процентів.
Декурсивний спосіб нарахування процентів – спосіб, при якому проценти нараховуються в кінці кожного інтервалу нарахування. Їхня величина визначається виходячи з величини наданого капіталу. Відповідно, декурсивна процентна ставка являє собою виражене у процентах відношення суми нарахованого за певний інтервал доходу до суми, наявної на початок цього інтервалу.
Антисипативний спосіб (попередній) нарахування процентів – це спосіб, при якому проценти нараховуються на початку кожного інтервалу нарахування. Сума процентних грошей визначається виходячи з нарощеної суми. Процентною ставкою буде виражене у процентах відношення суми доходу, що виплачується за певний інтервал, до величини нарощеної суми, отриманої після цього інтервалу. Визначена таким способом процентна ставка називається обліковою ставкою, або антисипативним процентом.

Нарощення за простим процентом
Прості проценти використовуються в короткострокових фінансових операціях, термін проведення яких менше року або дорівнює йому.
Нарощення за річною ставкою простих процентів здійснюється за формулою:
FV = PV(1 + r*n),       (1)
де FV – майбутня вартість;
PV – первісна вартість;
n – кількість періодів (років);
r – процентна ставка.
Приклад 1
Клієнт зробив внесок в банк в сумі 10 000 грн. під 12% річних терміном на п’ять років. За формулою (1) знаходимо:
FV = 10 000(1 + 0,12*5) = 16 000 грн.
Сума нарахованих процентів складе 6 000 грн. (16 000 – 10 000).
Якщо тривалість короткострокової операції виражена в днях, то термін її проведення коригується наступним чином:
n = t/B,       (2)
де t – кількість днів проведення операції;
В – тимчасова база (кількість календарних днів в році).
Тоді майбутню вартість операції можна визначити:
FV = PV(1+r*t/B),       (3)
Час вкладу (позики) може обчислюватися або з урахуванням точного числа в місяцях, або при допущенні, що розрахункова тривалість будь-якого місяця дорівнює 30 днів.
В результаті конкретні розрахунки з нарахування процентів можуть вестися за трьома варіантами:
365/365 – точна кількість днів проведення операції та фактична кількість днів в році (точні проценти);
365/360 – точна кількість днів проведення операції та фінансовий рік (12 місяців за 30 днів);
360/360 – наближена кількість днів проведення операції (місяць складає 30 днів) та фінансовий рік (звичайні проценти).
Для одних і тих же умов нарахування процентів проведення розрахунків з цих варіантів призводить до фінансових наслідків, які дещо відрізняються.
Приклад 2
Акціонерне товариство отримало в банку позику в розмірі 200 тис. грн. під 15% річних на термін з 15 березня до 15 квітня. Визначити суму, яку необхідно повернути банку.
Спочатку потрібно визначити кількість днів використання позики: 15 лютого – 46-й день у році, 15 квітня – 105-й день у році. Звідси точний термін позики – 59 днів. Тоді, за формулою (3) знаходимо:
FV1 = 200(1+0,12*59/365) = 203,88 тис. грн.,
FV2 = 200(1+0,12*59/360) = 203,93 тис. грн.,
FV3 = 200(1+0,12*60/360) = 203,99 тис. грн.

Дисконтування за простим процентом
Існує два способи дисконтування.
Математичне дисконтування – спосіб, заснований на вирішенні задачі зворотного визначення майбутньої вартості.
При проведенні розрахунків тут використовується процентна ставка.
З урахуванням прийнятих раніше позначень формула дисконтування за ставкою r буде мати вигляд:
PV = FV/(1 + r*n) = FV/(1 + r*t/B),       (4)
Дохід банку (FV – PV) називають дисконтом, а використовувану норму приведення r – декурсивною ставкою процентів.
Приклад 3
Яку ціну заплатить інвестор за безкупонну облігацію, номінальна вартість якої 500 тис. грн., а термін погашення – 270 днів, якщо необхідна норма прибутковості – 20%?
За формулою (4) при використанні звичайних процентів:
PV = 500/(1 + 0,2*270/360) = 434,78 тис. грн.;
точних процентів:
PV = 500/(1 + 0,2*270/365) = 435,56 тис. грн.
Банківське дисконтування застосовується при банківському обліку векселів, при цьому проценти нараховуються на суму, що підлягає сплаті в кінці терміну операції. При проведенні розрахунків використовується облікова ставка d:
PV = FV(1 – d*n) = FV(1 – d*t/B),       (5)
При дисконтуванні за обліковою ставкою найчастіше використовують тимчасову базу 360/360 або 360/365. Використовувану при цьому норму приведення d називають антисипативною ставкою процента.
Приклад 4
Простий вексель на суму 500 тис. грн. з терміном погашення один рік обліковується в банку через 270 днів за простою обліковою ставкою 20%. Яку суму отримає власник векселя?
Використаємо формулу (5), враховуючи, що n – це різниця в часі між моментом обліку і терміном погашення векселя:
PV = 500(1 – 0,2*90/360) = 475 тис. грн.
Застосування двох розглянутих методів дисконтування до однієї і тієї ж суми призводить до різних результатів, навіть при r = d. Облікова ставка дає більш швидке зниження суми, ніж звичайна.
Приклад 5
Простий вексель на суму 100 тис. грн. з оплатою через 90 днів обліковується в банку негайно після отримання. Необхідно визначити суму, отриману власником векселя при процентній/обліковій ставці 15%.
При використанні процентної ставки за формулою (4):
PV = 100/(1 + 0,15*90/360) = 96,39 тис. грн.
При використанні облікової ставки за формулою (5):
PV = 100(1 – 0,15*90/360) = 96,25 тис. грн.
Облікова ставка d застосовується і для нарощення за простими процентами (наприклад, при визначенні майбутньої суми контракту):
FV = PV/(1 – d*n) = PV/(1 – d*t/B),       (6)
Змінимо умови прикладу 5 наступним чином.
Приклад 6
На яку суму має бути виписаний вексель, щоб постачальник, провівши операцію обліку, отримав вартість товарів (100 тис. грн.) в повному обсязі, якщо облікова ставка – 15%?
За формулою (6) визначаємо майбутню вартість (номінал) векселя:
FV = 100/(1 – 0,15*90/360) = 103,896 тис. грн.

Визначення процентної ставки і терміну проведення операції
Величина процентної ставки r або облікової ставки d може бути визначена зі співвідношень (1) та (5):
r = (FV – PV)/(PV*n) = (FV – PV)*B/(PV*t),       (7)
d = (FV – PV)/(FV*n) = (FV – PV)*B/(FV*n),       (8)
Приклад 7
Короткострокове зобов’язання зі строком погашення 90 днів було придбане за ціною 98,22 од. від номіналу. Необхідно визначити прибутковість операції для інвестора.
Вона становить (з використанням звичайних процентів):
Y = [(100 – 98,22)/98,22] *360/90 = 0,072 або 7,2%.
Термін операції в днях визначається наступним чином:
t = (FV – PV)/(PV*r),       (9)
t = (FV – PV)*B/(PV*d),       (10)
Приклад 8
Необхідно визначити термін володіння зобов’язанням вартістю 98,22 од., що погашається за номіналом, якщо необхідна норма прибутковості 7,2%.
t = [(100 – 98,22)/(98,22 *0,072)]*360 = 90,61

Еквівалентність процентних ставок r і d
Еквівалентні процентні ставки – це такі ставки різного виду, застосування яких при однакових початкових умовах дає однакові фінансові результати.
Еквівалентні процентні ставки необхідно знати у випадках, коли існує можливість вибору умов фінансової операції та потрібен інструмент для коректного порівняння різних процентних ставок.
Висновок формул еквівалентності базується на рівності відповідних множників нарощення:
1 + n*r = (1 – n*d) – 1,       (11)
З врахуванням формули (11) для операцій з тривалістю менше року співвідношення еквівалентності матимуть вигляд:
• тимчасова база однакова і дорівнює (360 або 365 днів):
r = B*d/(B – t*d),       (12)
d = B*t/(B + t*r),       (13)
• тимчасова база ставки r дорівнює 365 днів, а d – 360 днів:
r = 365*d/(360 – t*d),       (14)
d = 360*t/(365 + t*r),       (15)
Приклад 9
Термін сплати за векселем – 250 днів. При цьому ставка простих процентів вимірюється при тимчасовій базі 365 днів, а проста облікова ставка – при тимчасовій базі 360 днів. Якою буде прибутковість, виміряна у вигляді ставки простих процентів, врахування векселя за простою обліковою ставкою 10%?
Використовуючи формулу (14) для r при заданих тимчасових базах, отримаємо:
r = 365*0,1/(360 – 250*0,1) = 0,1089 або 10,89%.
Припустимо, що справжня вартість векселя – 100 000 грн. Тоді його номінальна вартість за формулою (3) складе:
FV = 100 000(1 + 0,1089*250 /365) = 107 463 грн.
Облік векселя за 250 днів дозволить розрахувати за формулою (5) його справжню вартість:
PV = 107 463(1 – 0,1*250 /365) = 100 000 грн.

Нарощення за складними процентами
Складні проценти застосовуються, як правило, у фінансових операціях, термін проведення яких більше року.
При цьому базою нарахування процентів є як початкова сума фінансової операції, так і сума вже накопичених до цього часу процентів.
Нарощення за складними процентами має вигляд:
FVn = PV(1 + r)n,       (16)
Нарощення за складними процентами передбачає реінвестування отриманих доходів або капіталізацію.
Нарахування складних процентів може здійснюватися не один, а кілька разів на рік. У цьому випадку обговорюється номінальна ставка процентів j – річна ставка, за якою визначається величина ставки процентів, яка застосовується на кожному інтервалі нарахування.
При m-рівних інтервалах нарахування і номінальній процентній ставці j ця величина вважається рівній j/m.
Тоді, якщо термін фінансової операції становить n років, вираз для визначення нарощеної суми (16) прийме вигляд:
FVmn = PV(1 + j/m)mn,       (17)
При збільшенні кількості періодів нарахування m майбутня величина FVmn також зростає.
Приклад 10
Первісна сума вкладення 200 тис. грн. Визначити нарощену суму через п’ять років при використанні складної ставки процентів у розмірі 28% річних. Вирішити приклад для випадків, коли проценти нараховуються за півріччя, поквартально.
За формулою (16) для складних процентних ставок:
FV = 200(1 + 0,28)5 = 687,2 тис. грн.
За формулою (17) для нарахування за півріччях:
FV = 200(1 + 0,28/2)10 = 741,4 тис. грн.
За тією ж формулою для поквартального нарахування:
FV = 200(1 + 0,28/4)20 = 773,9 тис. грн.
Якщо термін фінансової операції n в роках не є цілим числом, множник нарощення k визначається за формулою:
k = (1 + r)an (1 + nb*r),       (18)
де n = na + nb;
na – ціле число років;
nb – дробова частина року, що залишилася.
На практиці в даному випадку часто застосовують формулу (16) з відповідним нецілим показником ступеня. Однак цей спосіб є приблизним. Чим більші значення входять до формули величин, тим більшою буде похибка при обчисленнях.
Приклад 11
Первісна сума боргу дорівнює 50 000 тис. грн. Необхідно визначити нарощену суму через 2,5 роки, використовуючи два способи нарахування складних процентів за ставкою 25% річних.
За формулою (18) одержуємо:
FV = 50 000(1 + 0,25)2 (1 + 0,5*0,25) = 87 890,6 тис. грн.
Для другого способу використаємо формулу (16) з нецілим показником ступеня:
FV = 50 000(1 + 0,25)2,5 = 87 346,4 тис. грн.
При використанні приблизного методу упущена вигода могла б скласти близько 550 тис. грн.
Якщо нарахування складних процентів здійснюється кілька разів на рік і загальне число інтервалів нарахування не є цілим числом (mn – ціле число інтервалів нарахування, l – частина інтервалу нарахування), то вираз (17) приймає вигляд:
FVmn = PV(1 + j/m)mn (1 + lj/m),       (19)
Для цілого числа періодів нарахування використовується формула складних процентів (16), а для решти – формула простих процентів (1).
На практиці часто виникає необхідність порівняння умов фінансових операцій, що передбачають різні періоди нарахування процентів. У цьому випадку відповідні процентні ставки призводять до їх річного еквіваленту за формулою:
EPR = (1 + t/m)m – 1,       (20)
Отриману при цьому величину називають ефективною процентною ставкою (effective percentage rate – EPR), або ставкою порівняння.
Приклад 12
На чотирирічний депозит в 10 000 грн. щокварталу нараховуються складні проценти за ставкою 2,5%, тобто з розрахунку 10% річних. Чи буде еквівалентною інвестицією депозит в 10 000 грн., вкладений на той же термін під 10%, що нараховуються один раз на рік?
Розрахуємо ефективну ставку для обох операцій:
щокварталу: EPR = (1 + 0,1/4)4 – 1 = 0,103813;
щорічно: EPR = (1 + 0,1/1)1 – 1 = 0,10.
Таким чином, умови приміщення суми в 10 000 грн. на депозит строком на чотири роки під 2,5%, що нараховуються щокварталу, будуть еквівалентними річній ставці, рівній 10,3813%. Отже, перша операція вигідна для інвестора.
Якщо відома величина EPR, то номінальна ставка процентів може бути визначена таким чином:
      (21)

Дисконтування за складними процентами
Розглянемо використання при математичному дисконтування складних процентних ставок:
PVn = FVn /(1 + r)n,       (22)
Якщо проценти будуть нараховуватися m разів на рік, то формула (22) прийме вигляд:
PVmn = FVn /(1 + r/m)mn,       (23)
Приклад 13
Банк здійснює нарахування процентів на внесену суму за складною процентною ставкою, що дорівнює 20% на рік. Яку суму слід покласти на депозит за умови, що інвестор розраховує отримати 10 000 тис. грн. через 10 років? Потрібно розглянути два варіанти нарахування процентів – щорічне і щоквартальне.
При щорічному нарахуванні процентів за формулою (22):
PV = 10 000/(1 + 0,2)10 = 1 615,1 тис. грн.
При щоквартальному нарахуванні процентів за формулою (23):
PV= 10 000/(1 + 0,2/4)40 = 1 420,5 тис. грн.

Використання складної облікової ставки
Для розрахунку операції дисконтування за складною обліковою ставкою використовується формула:
PVn = FVn (1 – d) n,       (24)
Приклад 14
Власник векселя номінальною вартістю 500 тис. грн. і періодом обігу 1,5 року запропонував його банку відразу для обліку, тобто за 1,5 року до погашення. Банк погодився врахувати вексель за складною обліковою ставкою 20% річних. Потрібно визначити дисконт, отриманий банком, і суму, видану власнику векселя.
Використовуючи формулу (24), знаходимо:
PV = 500(1 – 0,2)1,5 = 357,77 тис. грн.
Дисконт банку складе: 500 – 357,77 = 142,23 тис. грн.
Для цих умов визначимо суму, яку отримав би власник векселя, якби банк провів облік векселя за простою обліковою ставкою 20%. Для цього використовуємо формулу (5):
PV = 500(1 – 0,2*1,5) = 350 тис. грн.
Дисконт банку складе 500 – 350 = 150 тис. грн.
Таким чином, банку вигідніше враховувати простий вексель за обліковою ставкою.
Якщо дисконтування за складною обліковою ставкою проводиться m разів на рік, то розрахункова формула буде мати наступний вигляд:
PVmn = FVn (1 – d/m) mn,       (25)
Приклад 15
Збережемо умови попереднього прикладу, але нехай розрахунок дисконтування проводиться щоквартально, тобто m = 4.
За формулою (25) одержимо:
PV = 500(1 – 0,2/4)6 = 367,55 тис. грн.
Дисконт банку складе: 500 – 367,55 = 132,45 тис. грн.
Дохід банку за щоквартальним дисконтуванням буде менший, ніж при щорічному дисконтуванні, на: 142,23 – 132,45 = 9,78 тис. грн.
При дисконтуванні з нарахуванням процентів за періоди менше року може використовуватися поняття «ефективна складна облікова ставка». Ефективна складна облікова ставка, еквівалентна складній обліковій ставці при заданому значенні m, визначається за формулою:
dеф = 1 – (1 – d/m) m,       (26)
Приклад 16
Боргове зобов’язання номінальною вартістю 500 тис. грн. має бути погашене через п’ять років. Складна облікова ставка дорівнює 20% річних. Нарахування процентів щоквартальне. Потрібно визначити справжню величину вартості зобов’язання і ефективну облікову ставку.
Використовуючи формули (25) і (26), одержимо:
PV = 500(1 – 0,2/4)20 = 179,243 тис. грн.
dеф = 1 – (1 – 0,2/4)4 = 0,18549 або 18,549%.
Підставивши значення 18,549% у формулу (24), одержимо:
PV = 500(1 – 0,18549)5 = 179,247 тис. грн.
Розбіжність між величинами цієї суми, розрахованими за цими формулами, знаходяться в межах точності розрахунку.

Визначення процентної ставки і терміну проведення операції
При відомих величинах FV, PV та n процентну ставку можна визначити за формулою:
r = (FVn/PVn)1/n – 1,       (27)
Приклад 17
Сума в 10 000 грн., покладена на рахунок в банк, через 4 роки склала величину 14 641 грн. Необхідно визначити прибутковість операції.
За формулою (27) знаходимо:
r = (14 641/10 000)1/4 – 1 = 0,1 або 10%.
Тривалість операції визначається логарифмуванням:
n = log(FVn/PVn)/log(1+r),       (28)
Приклад 18
Сума в 10 000 грн., поміщена в банк під 10% річних, склала 14 641 грн. Необхідно визначити термін проведення операції.
За формулою (28) знаходимо:
n = log (14 641/10 000)/log(1 + 0,1) = 4 роки.

Висновок
Приведені розрахункові формули описують механізм впливу фактора часу на результат фінансових операцій. Їх використання дозволяє уникнути помилок і втрат в умовах зниження купівельної спроможності грошей.

© 2003-2012  Українське агентство фінансового розвитку Дизайн та розробка порталу
студія web-дизайну "Золота рибка"